E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo numerico

 Serie di Fourier

Il programma esegue lo sviluppo in serie di Fourier della funzione in oggetto sull'intervallo    troncandolo a piacimento. Vengono infine visualizzati i grafici della funzione data e del suo sviluppo in serie per poterle confrontare. 

Lo sviluppo viene effettuato rispetto al sistema ortonormale    con  troncando    al valore di    desiderato, essendo  . 

Gli integrali vengono approssimati col metodo dei trapezi.


 y =  f(x) =  

 lar =  alt = (larghezza ed altezza immagine in pixel)

 xa  = 0      xb = 6.28318530717959 (2 pigreco) (estremi asse x)

 ya  =   yb = (estremi asse y)

 troncamento per k =  

 scomposizione intervallo per l'integrazione =

 

Operatori ammessi :

 + somma  sin() seno  asin() arco seno  sinh() seno iperbolico  asinh() inverso del seno iperbolico  pow(base, esponente) potenza
 - sottrazione  cos() coseno  acos() arco coseno  cosh() coseno iperbolico  acosh() inverso del coseno iperbolico  exp() esponenziale
 * moltiplicazione  tan() tangente  atan() arco tangente  tanh() tangente iperbolica  atanh() inverso del coseno iperbolico  log() logaritmo naturale
 / divisione          abs() valore assoluto
 . segno per decimali          sqrt() radice quadrata
           sgn() segno

Sorgenti PHP :

seriedifourier.php

<html>

<head>
<title>Serie di Fourier</title>
</head>

<body>

<script language="php">

error_reporting (E_ALL ^ E_NOTICE);

// parametri in input 
//
// $funzione = f(u)
// $lar = larghezza immgine in pixel
// $alt = altezza immagine in pixel
// $xa = inizio dominio x
// $xb = fine dominio x
// $ya = inizio dominio y
// $yb = fine dominio y
// $grado = grado sviluppo in serie
// $scomp = scomposizione intervallo per l'integrazione
//
// parametri in output
//
// ritorna lo sviluppo in serie di Fourier e
// crea una immagine PNG e ne rende disponibile il link
//

// inserisce tutti gli include (funzioni esterne)

if (is_integer(strpos($SERVER_SOFTWARE, "Win")))
{
include("..\Routines\sgn.php");
include("..\Routines\integrale.php");
include("..\Routines\contrFunz.php");
}
else
{
include("../Routines/sgn.php");
include("../Routines/integrale.php");
include("../Routines/contrFunz.php");
}

// controlli vari

if ($funzione == "")
{
echo "Attenzione !!! Manca y = f(x) !!!";
return;
}

$funzione = trim($funzione);
$contr = contrFunz($funzione);
if ($contr == "1")
{
echo "Attenzione !!! La funzione y = f(x) presenta spazi bianchi, impossibile procedere !!!";
return;
}
if ($contr == "2")
{
echo "Attenzione !!! La funzione y = f(x) presenta il carattere ^, impossibile procedere !!! Usare la funzione pow(... , ...) !!!";
return;
}
$funzioneold = $funzione;
$funzione = str_replace("exp", "ppp", $funzione);
$funzione = str_replace("x", "u", $funzione);
$funzione = str_replace("ppp", "exp", $funzione);

// parametri di scala 

$dx = ($xb - $xa) / ($lar - 1); // intervallo di scomposizione asse x 
$dy = ($yb - $ya) / ($alt - 1); // intervallo di scomposizione asse y

// sviluppo in serie

$a[0] = (1 / pi()) * integrale($funzione, $xa, $xb, $scomp);

For ($i = 1; $i <= $grado; $i++)
{
$rf = "(" . $funzione . ")*cos(" . $i . "*u)";
$a[$i] = (1 / pi()) * integrale($rf, $xa, $xb, $scomp * $i);
$rf = "(" . $funzione . ")*sin(" . $i . "*u)";
$b[$i] = (1 / pi()) * integrale($rf, $xa, $xb, $scomp * $i);
}

//For ($i = 1; $i <= $grado; $i++) // calcola ampiezza e fase per componente tipo A*cos(i*u - f) --> rivedere eventualmente in un secondo tempo
//{
// $amp[$i] = sqrt($a[$i] * $a[$i] + $b[$i] * $b[$i]);
// $fase[$i] = atan($b[$i] / $a[$i]);
//}

$sviluppo = ($a[0] / 2) . "+";
For ($i = 1; $i <= $grado; $i++)
{
$segno = "";
if ($b[$i] >= 0)
{
$segno = "+";
}
$sviluppo = $sviluppo . "(" . $a[$i] . "*cos(" . $i . "*u)";
$sviluppo = $sviluppo . $segno . $b[$i];
$sviluppo = $sviluppo . "*sin(" . $i . "*u))+";
}
$sviluppo = substr($sviluppo, 0, strlen($sviluppo) - 1);

if (is_integer(strpos($sviluppo, "INF")) or is_integer(strpos($sviluppo, "IND")))
{
echo "Attenzione !!! Sviluppo in serie impossibile causa termini infiniti od indeterminati !!!";
return;
}

// disegno frame con coordinate 

$im = ImageCreate ($lar + 100, $alt + 100); 

$bianco = ImageColorAllocate ($im, 255, 255, 255);
$nero = ImageColorAllocate ($im, 0, 0, 0);
$rosso = ImageColorAllocate ($im, 255, 0, 0);
$verde = ImageColorAllocate ($im, 0, 255, 0);
$blu = ImageColorAllocate ($im, 0, 0, 255);

Imageline ($im, 0, 0, $lar, 0, $nero);
Imageline ($im, 0, $alt, $lar, $alt, $nero);
Imageline ($im, 0, 0, 0, $alt, $nero);
Imageline ($im, $lar, 0, $lar, $alt, $nero);

ImageString ($im, 1, 0, $alt + 10, $xa . " (x)", $nero);
ImageString ($im, 1, $lar, $alt + 10, $xb, $nero);
ImageString ($im, 1, $lar + 10, $alt, $ya . " (y)", $nero);
ImageString ($im, 1, $lar + 10, 0, $yb, $nero);

ImageString ($im, 2, 0, $alt + 30, "y = " . $funzioneold, $nero);
ImageString ($im, 2, 0, $alt + 50, "y = sviluppo in serie di Fourier", $rosso);

if ($xa < 0) // disegna asse y se dentro intervallo
{
Imageline ($im, abs($xa) / $dx, 0, abs($xa) / $dx, $alt, $nero);
ImageString ($im, 1, abs($xa) / $dx, $alt + 10, "0", $nero);
}
if ($ya < 0) // disegna asse x se dentro intervallo
{
Imageline ($im, 0, $alt - abs($ya) / $dy, $lar, $alt - abs($ya) / $dy, $nero);
ImageString ($im, 1, $lar + 10, $alt - abs($ya) / $dy, "0", $nero);
}

// definizione funzione y = f(x)

$f = $funzione;
$f = str_replace("u", '$x', $f);

// disegna funzione

for ($i = 1; $i <= $lar; $i++) 
{
$x = $xa + ($i - 0) * $dx; // dovrebbe essere - 1, ma lo porto a - 0 per migliore approssimazione grafica
$y = 0;
eval("\$ff = @($f);");
$y = $ff;
$yy = 0;
if ($y >= $ya and $y <= $yb)
{
$yy = (abs($yb - $ya) - ($y - $ya)) / $dy;
Imageline ($im, $i, $yy, $i, $yy, $nero);
}
}

// definizione sviluppo 

$s = $sviluppo;
$s = str_replace("u", '$x', $s);

// disegna sviluppo

for ($i = 1; $i <= $lar; $i++) 
{
$x = $xa + ($i - 0) * $dx; // dovrebbe essere - 1, ma lo porto a - 0 per migliore approssimazione grafica
$y = 0;
eval("\$ff = @($s);");
$y = $ff;
$yy = 0;
if ($y >= $ya and $y <= $yb)
{
$yy = (abs($yb - $ya) - ($y - $ya)) / $dy;
Imageline ($im, $i, $yy, $i, $yy, $rosso);
}
}

// disegna immagine

$nomefile = $REMOTE_ADDR;
$nomefile = "grafico" . str_replace(".", "-", $nomefile). ".png";

ImagePng ($im, $nomefile); 

// ritorna lo sviluppo in serie

echo "y = " . $funzioneold . "<p>";

echo "Sviluppo in serie di Fourier di valore iniziale " . $xa . " di valore finale " . $xb . " con troncamento per k = " . $grado . " :<p>";

echo "y = " . str_replace("u", "x", $sviluppo) . "<p>";

echo "Attenzione !!! La precisione dello sviluppo dipende dal troncamento per k = " . $grado . " , dalla scomposizione " .
$scomp . " utilizzata per il calcolo degli integrali col metodo dei trapezi e dalla " . 
"precisione interna nel calcolo delle funzioni." . "<p>";

// ritorna il link all'immagine

echo "<a href='$nomefile'>Visualizza il grafico</a>";

</script>

</body>

</html>

sgn.php

<script language="php">

error_reporting (E_ALL ^ E_NOTICE);

function sgn($x)
{
// funzione sgn
// x = variabile indipendente

if ($x > 0)
{
return +1;
} 
if ($x == 0)
{
return 0;
} 
if ($x < 0)
{
return -1;
} 

} // fine sgn()

</script>

integrale.php

<script language="php">

error_reporting (E_ALL ^ E_NOTICE);

function integrale($f, $a, $b, $n)
{

// integrale definito col metodo dei trapezi 
// $f = stringa contenente la funzione da integrare f(u)
// $a = primo estremo di integrazione
// $b = secondo estremo di integrazione 
// $n = numero intervalli scomposizione

$dx = ($b - $a) / $n; //incremento x

$f = str_replace("u", '$x', $f);

$somma = 0;
For ($i = 0; $i <= $n; $i++)
{
$x = $a + $i * $dx;
eval("\$ff = @($f);");
if (!is_numeric($ff))
{
$ff = 0;
}
if ($i == 0 or $i == $n)
{
$somma = $somma + $dx * $ff / 2; 
} 
else
{
$somma = $somma + $dx * $ff; 
} 
} 

return $somma;

} // fine integrale()

</script>

contrFunz.php

<script language="php">

error_reporting (E_ALL ^ E_NOTICE);

function contrFunz($funz)
{
// controllo formale digitazione funzione
// viene controllata l'esistenza dei seguenti caratteri : blank, ^
// se tali caratteri vengono trovati, vine settata la variabile d'uscita
// $funz = funzione da controllare

$errore = "";

if (is_numeric(strpos($funz, ' ')))
{
$errore = "1";
} 

if (is_numeric(strpos($funz, '^')))
{
$errore = "2";
} 

return $errore;

} // fine contrFunz

</script>